导读: 我们都知道奇数函数的定义,对于函数定义域上的任意自变量x,只要f(-x)=-f(x),即相反的正变量有相反的 函数 值,那么这个 函数 是奇数 函数。不过,有时候标题并没有直接告诉你函数是奇数函数,而是用一种更微妙的说法,你能不能快速判断一下函数这个时候的奇数吗 奇函数的定义,奇函数的定义域我们都知道奇函数的定义,对函数定义域上的任一个自变量x,只要f(-x)=-f(x),即相反的正变量有相反的函数值,那么这个函数就是奇函数。不过题目中有时候并不会直接告诉你该函数是奇函数,而是用一种比较隐蔽的说法,这时候能不能快速判断函数的奇性,就变得非常重要了。我们来看一下下面这道高中数学题,题目中的奇函数和周期函数的条件都给得比较隐晦。 已知函数f(x)对任意x∈R, 都有f(x+6)+f(x)=0, y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 且f(2)=4, 求:f(2014). 分析:题目中总共给了四个条件,第一个条件是函数定义在R上,这为函数的周期性和奇函数性质提供了可能。 第二个条件是f(x+6)+f(x)=0,说明函数是一个周期函数,且有正周期12。我们一般习惯的周期函数表达式是f(x)=f(x+6),或f(x)=f(x-6),也可以写成f(x+6)-f(x)=0。它们都表示函数是一个有正周期6的周期函数。但其实f(x)=-f(x+6),或f(x)=-f(x-6),也可以写成f(x+6)+f(x)=0,也可以说明这个函数是一个周期函数,不过只能确定12是它的周期。这是因为f(x)=-f(x+6)=f(x+6+6)=f(12)。 第三个条件是y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,说明f(x)是一个奇函数。我们一般认为定义在R上关于原点对称的函数是奇函数。这个函数关于点(1,0)对称,它怎么就变成一个奇函数了呢? 注意了,f(x-1)的图像关于点(1,0)对称不能说明f是关于x-1的奇函数,但能说明f是关于x的奇函数。这是因为f(x-1)是f(x)向右平移1个单位长度得到的,从而对称中心也由原点向右平移1个单位长度得到点(1,0)。反过来也可以说,函数f(x-1)的图像向左平移1个单位长度就得到函数f(x),对称中心(1,0)也向左平移1个单位长度得到原点,所以f(x)是一个奇函数。 最后一个条件是f(2)=4,要求f(2014),就是利用函数的周期性和奇函数性质,用含有f(2)的式子来表示f(2014). 2014=-2+12×168,即12个周期减2,从而有f(2014)=f(-2),再利用奇函数的性质,就可以得到最后的结果了。接下来整理一下解题过程: 解:由y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称, 知f(x)是奇函数. 由f(x+6)+f(x)=0, 得f(x)=-f(x+6)=f(x+6+6)=f(x+12), 即f(x)是以12为周期的函数. f(2014)=f(-2+12×168)=f(-2)=-f(2)=-4. 分析了这么多,解题过程却这么简单,你怎么看呢? 总结:以上内容就是对于奇函数的定义,奇函数的定义域的详细介绍,文章内容部分转载自互联网,希望对您了解奇函数的定义有帮助和参考的价值。
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