二重积分的几何意义,二重积分的几何意义是面积还是体积

导读： 抽象微积分很难理解，经常使许多学生感到困惑。然而，在6月5日上午的第一堂课上，一个有趣的事情发生在中南大学经济法学院寿邑校区101室的微积分课上。教室里不时传来学生们的讨论和笑声。是什么让枯燥的微积分课如此活跃？原来杜老师

抽象难懂的微积分，往往让许多同学一头雾水。但是，6月5日上午第一节课，在中南财经政法大学首义校区文泽楼101教室微积分的课堂上，发生了一件有意思的事。教室里不时传来同学们的讨论声和笑声，是什么让原本沉闷的微积分课如此活跃呢？

原来，任课老师杜薇薇用切西瓜的方法向同学们演示了二重积分法。杜老师请第一排的男同学帮忙演示，在同学们期待的眼神下开始了讲解。看着男生略微笨拙的动作，杜老师打趣道：“你是不是不常切西瓜？先切割垂直于X轴的区域，知道哪个是X 轴吗？”在老师耐心的指导下，男生切下来一个“区域Z”。之后，老师拿着这块西瓜向大家展示，“这样我们就可以通过二重积分知道我们吃了多少西瓜”。说完反手就把“区域Z”吃了，惹得同学们哈哈大笑。一下课，老师就热情地招呼大家一起吃西瓜，还笑说：“你们不用担心吃不到西瓜，按照二重积分理论，分割可以无线加细，只不过前面的同学吃到的比较大。”说完，老师先被自己逗乐了。同学们伴着笑声，在西瓜的甘甜中回味课堂上学到的知识，原本抽象的二重积分公式也在切西瓜的过程中被一步步分解和形象化了。

为什么会想到用西瓜做模型讲解二重积分呢？杜薇薇老师解释说，二重积分的几何意义是三维空间中的体积问题，如果只是在平面上画图,不能较好地帮助同学们理解，运用模型主要是帮助同学们构建几何空间，更直观地理解二重积分的含义。其次是活跃课堂气氛，在这炎热的夏季，希望西瓜能给同学们带来清凉。

同学们都反映，杜老师这样的教学方式生动有趣，不仅能让他们提起精神，更能把抽象的问题与生活联系到一起，讲解得清晰有条理。在同学们眼中，杜薇薇老师是一位集细致严谨和幽默风趣为一体的微积分女神。在长期的教学过程中，杜老师一直秉持着认真负责的教学态度，以学生为先，注重实践教学和学生反馈，将课程内容化抽象为具体，生动形象、条理清晰地传达给学生，形成了独特的教学风格。课后她还与同学们亲近地互动，收获了与同学们真挚的友谊。

学生张瑨回忆，杜老师曾有段时间嗓子疼得说不了话，请假去医院挂盐水，第二天却还坚持来看代课老师为同学们上课；这次带西瓜也一并带着垃圾袋，吃完后让大家收拾好瓜皮残屑，不给清洁的大爷大妈添麻烦……种种小事让张瑨不禁感慨：“作为大学老师，她做到了严谨与负责，教会了我们知识和人生道理，是良师无疑。”微积分群内的聊天记录也记录下了老师时而大气豪爽、时而卖萌撒娇的亲切可爱模样。“杜老师每一次的作业都会认真批改，在线上只要我们问了问题，她看到就会回复。”张瑨如是说。

除了用切西瓜的方式讲解二重积分，杜老师还曾让学生用空气黏土制作多元函数的二次曲面模型。在讲完那一章节时，杜老师向每人发了一盒空气黏土，让同学们回去自己制作曲面模型，并在上面画出它的割线，通过实践去理解曲面模型的多样性和每种曲线的特征。现在，她仍保存着一些同学制作的数学模型。

杜薇薇老师说，数学与生活息息相关。对一些人来说，数学晦涩难懂，可能只是被它抽象的外在形式困扰。数学，是严密的逻辑性与高效的科学性的结合，它不只用最简捷的方式高效率地解决数学难题，更带给我们解决生活问题的方法和思维。所以在讲定积分时，她不会照本宣科地讲解概念，而是通过提出问题，引导同学们去思考如何运用数学的方法去解决。当然，数学也并不全是应用性的，它的晦涩之处还在于，出于解决问题的需要，同学们需掌握很多工具性的方法和纯粹的数学概念，比如洛必达法则等等。这些工具性定理缺乏趣味性，却又是不可缺少的，所以并不是所有问题都能有趣地解决。在数学这条大路上，必须克服许多困难。

财政1701的同学们还表示，很高兴能在探索数学的道路上遇到杜薇薇老师这么一位良师益友，带领他们领略数学的奥妙，用数学的思维方法去探求生活的美妙。

中南财经政法大学党委宣传部（新闻中心）

来源 文澜新闻网

学生记者 沈东篁 王静怡

图 张瑨

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