方程 一、等式： 1、概念：表示相等关系的式子叫做等式（即含有等号的式子）。 2、性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式； （2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。 3、等式与方程的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。等式范围﹥方程范围 二、方程： 1、定义：含有未知数的等式是方程。 2、解方程：求方程中未知数的过程，叫做解方程（“解”）。 注意：（1）解完方程，要记得检验 （2）方程的解： 3、列方程解应用题：（“解”“设”） （一）一般步骤（1）审题，找出关键信息； （2）根据关键信息找数量关系； （3）根据数量关系列方程解答； （4）把结果看作已知信息进行检验。 （二）主要依据 （1）常见的数量关系：单价×数量=总价 速度×时间-路程（可利用线段图找到等量关系然后解题。） 工作效率×工作时间=工作总量 （2）平面图形计算公式：正方形周长=边长×4； 正方形面积=边长×边长 长方形周长=（长 宽）×2； 长方形面积=长×宽 平行四边形周长=（长 宽）×2；平行四边形面积=底×高 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底 下底）×高÷2 （3） 几倍多（少）几的问题：先确认一倍量是已知还是未知，若未知，顺着 一倍量×几倍 多（少）=比较量，这一关系式列方程解答比较容易。 和（差）倍的问题：一般设“1份”（或一倍量）为x，另一个是它的几倍 就为 “几”x，再根据其加减关系（和或差）列出方程。 注意（1）解方程要写“解”； （2）列方程解应用题要写“解”“设” （3）三个连续自然数（或连续奇数、连续偶数）的和，等于中间数的3倍。 折线统计图 分类：单式折线统计图（优点：便于观察数量的多少及事物的增减变化情况。） 复式折线统计图（优点：便于观察两组数据的大小关系及数据的增减变化情况。） 画法：描点、标数据、连线、写日期 因数与倍数 一、定义： 概念：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 定义：如2×5=10，称5和5都是10的因数，10是2的倍数，也是5的倍数。 注意： （1）因数与倍数互相依存，不能说10是倍数，5是因数； （2）为了方便，我们在研究因数与倍数的关系的时候，所说的数指的是自然数（一般不包括0） （3）找一个数的因数的方法是：列除法算式或乘法算式找；（从小到大） （4）一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； （5）找一个数的倍数的方法：列乘法算式找；（从小到大枚举） （6）倍数的个数有无限个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数 二、2、3、5的倍数 1、2的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 注意：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 0是最小的偶数 2、5的倍数的特征：个位数字是0、5的数都是5的倍数。 注意：个位数字是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 3、3的倍数的特征：各位上的数字和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 注意：求要满足多个条件的倍数，先看2、5，后看3。 练习：有三个数字0、6、9，按要求组成两位数. 和与积的奇偶性 整数和与积的奇偶性 100以内的质数 思考：如果让你找出100以内的质数，你会如何一步一步缩小范围呢？ 质数与合数 一、定义： 质数：只有1和它本身两个因数，像这样的数就叫做质数。 {100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97} 如何判断一个数是否是质数：用试除法判断一个自然数a是不是质数，用从小到大的各个质数依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，则可以断定a必然是质数。合数：除了1和它本身还有别的因数，像这样的数就叫做合数。质因数：如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 注意：（1）1既不是质数，也不是合数；但它与任何整数都是互质数。 （2）2是最小的质数，2是唯一偶质数；（分清偶质数和奇质数的概念） （3）4是最小的合数； （4）5是唯一一个个位为5的质数； （5）100以内共25个质数，74个合数 （6）★两个不同的质数的和是奇数，其中一个质数一定是2（根据和的奇偶性来理解） （7）★两个不同的质数的和是偶数，这两个质数都是奇数 （8）三个不同的质数相加，和为偶数，这三个数一定是2和两个奇质数。 （9）10以内的质数个位只能是1、3、7、9 （10）绝对质数：一个两位质数，个位和十位交换后还是质数。 （例如：11、13、 31,17、71、37、73、79、97） 分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数连续相乘的形式。 注意：（1）分解到因数全部为质数为止； （2）一个数分解质因数的结果是唯一的； （3）最终结果要写成用指数表示质因数相乘的形式 （2³，指数是3，表示3个2相乘） 2、方法：（1）逐次法（2）短除法 注意：（1）先把要分解的数写在短除号“∟”里； （2）从质数表中从小到大依次尝试，直到商是质数为止； （3）最后把每个除数与最后的商写成连乘的形式。 3、题型：已知乘积反求原数 （1）先把积分解质因数（2）用质因数凑因数 公因数 一、定义：公因数：几个数公共的因数，其中最大的一个称为最大公因数。 二、表示：通常，把两个数a，b的最大公因数记为（a,b），例如（12,8）=6 三、求最大公因数的方法： （一）短除法：用短除法求最大公因数，最后除到两个数互质为止，短除号左边的所有数相乘得最大公因数，短除式最后两个商一定要互质。 注意：（1）公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 （2）a和b是互质数，且a＜b，则它们的最大公因数是 a，最小公倍数是a×b； 判断两数互质的方法： （1）两个不同质数一定是互质数； （2）相邻的两个自然数一定是互质数； （3）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数；例如3与10、5与26； （4）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。 （二）列举法：一般关系的两个数求最大公因数用该法 四、注意： （1）1为所有非零自然数的公因数。 （2）两个数的公因数都是它们最大公因数的因数； （3）倍数关系的两个数，最大公因数就是这两个数中较小的一个； （4）两个数是互质数，最大公因数是1； （5）一般已知被除数求除数，就是求公因数， 问至多是多少，就是求最大公因数（最多、最大） 公倍数 1、定义：几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数。 2、表示：a、b的最小公倍数记为[a、b] 3、注意： （1）两个数的公倍数就是它们最小公倍数的倍数； （2）倍数关系的两个数，最小公倍数就是这两个数中较大的一个。 （3）两个数是互质数，最小公倍数是这两个数的乘积。 （4）用短除法求最小公倍数，最后除到两个数互质为止。短除号外所有数相乘得最小公倍数。 （5）对于被除数未知的情况，一般是求公倍数。（最少、最小、至少） 分数的意义与性质 - 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作“分数”。表示其中 一份的数，叫作分数单位。、
单位“1”：一个物体、一个计量单位、或一个整体性的群体等都可以用自然数1来表示，通常叫作单位“1”。（“占”或“是”后面的通常是单位“1”） 分数表示两个同类数量的关系，或部分与整体的关系。分数后面有单位，表示具体的数量；没有单位，表示分率。分数与除法的关系：两个数相除也可以用分数表示。被除数相当于分子，除数相当于分母。a÷b= (b≠0)除法与分数的关系 应用（1）求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。（用分数表示除法的商） 方法：“占”字前面的数除以后面的数写成分数。 （2）分数与小数的相互转化与比较 2、分类 （1）真分数：分子﹤分母的分数。 （2）假分数：分子≥分母的分数（包含带分数和1） 带分数：由非0整数和真分数合成的数，是假分数的另一种表示形式。 注意：（1） 带分数的分数部分都是真分数。 （2）比较大小：0﹤真分数﹤1≤假分数 ★带分数与假分数的互化 （1）假分数化带分数： 假分数化带分数 注意：余数为0时可以化为整数 （2）带分数化假分数 ： 带分数化假分数 3、约分与通分 （一）依据：分数的基本性质：（类比除法中商不变的性质） 分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （同乘—扩分；同除—约分） （二）约分：把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比较小的分数，叫作约分。 最简分数：分子、分母只有公因数1的分数叫作最简分数。 注意：约分时，通常要约成最简分数。 （将原分数分子和分母直接同时除以分子和分母的最大公因数） 过程： 约分过程 方法：设份法 （三）通分：把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同 分母分数，叫作通分。 公分母：相同的分母叫作公分母。 注意：通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。 （四）应用—分数比较大小 （1）同分母异分子分数比较大小：分子大的分数比较大； （2）异分母分数比较大小：通分子：分子相同，分母小的分数比较大； 通分母：分母相同，分子大的分数比较大。 注意：通分子一般适用于分母较大，且不易通分时。四、分数与小数的互化： 1、分数化小数：用分数和除法的关系把分数写成除法算式，再计算，除不尽按要求保留小数。（用分子除以分母，将分数转化为除法算式，计算商；） 2、小数化分数：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…然后化简。（小数化为分数：数小数位数，一位小数，分母是10；两位小数，分母是100…） 注意：小数化分数后，能约分的要约成最简分数。 常见的分数与小数： 常见的分数化小数 分数的加法与减法 一、同分母分数加减法： 方法：分母不变，分子相加减。 注意：结果是最简分数 二、异分母分数加减法： 方法：先通分，再按照同分母分数加减法进行计算。 注意：结果一定要约分到最简分数。 三个或多个异分母分数相加、减：先通分两个分数，然后再通分第三个分数；也可以三个分数同时通分，与找两个分数的公分母的方法是一样的。 带分数加、减法： 方法：带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得结果合并起来。 分数基本性质的应用1 分数基本性质的应用2 分数加减法混合运算分数加减法运算顺序： 无括号时，按照从左向右的顺序计算；有括号时，先算括号内，再算括号外。分数简便运算： 原则：利用加减法运算定律进行简便计算（先找同分母分数，再用运算律。） 利用加法交换律和结合律进行凑整巧算； （把分母相同的分数先进行加减法计算）整数、小数中去括号的规则在分数中同样适用。利用添、去括号巧算。 利用连减性质凑整计算；（带符号搬家和连减性质）利用加法交换律和加法结合律进行分组凑整计算 4、分数与小数的混合运算：如果分数能化成有限小数，通常把分数化成小数计算较为简单；如果分数不能化成有限小数，应把小数化成分数再计算。 分数的应用 圆的认识 一、圆的概念 1、圆的定义： （1）在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这个定点叫做圆心。 （2）当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 2、圆的外形特点（或性质）： 圆是平面轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线（或直径所在的直线）；圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。圆由曲线组成，没有顶点。（其他多边形由线段组成，有顶点） 3、圆的画法： 画圆时，先设定好针尖与笔尖的距离（即圆的半径），针尖固定在一点（圆心O），转动笔尖转一圈即完成一个圆。 4、圆的组成： 圆的组成 5、圆的影响因素： 定位：圆心大小或尺寸：半径或直径 6、圆的计算 圆的计算 常见的Π值 周长的计算：（1）半圆的周长=圆周长的一半 直径 （2）不规则图形的周长： 确定组成：先确定周长由几条曲线或线段组成；分解或组合：再通过分解或组合计算：应用圆的周长公式计算出结果。 线捆等圆问题：周长的组成一定都包含一个圆。 注意：几个等圆必须依次紧密捆在一起。奥数内容 面积的计算:已知半径或直径求面积：直接代入公式；已知周长求面积：先求出半径，再求面积；求扇形的面积：求出扇形所在圆的面积，再看扇形面积是圆面积的几分之几，从而求出扇形的面积。 圆的面积=圆的面积÷2 圆的面积÷4 圆的面积÷4×3 不规则图形的面积：利用割补法，将图形拆分、重组，转化为规则图形求解。 圆环、半圆环、扇环 圆环的相关面积公式 求阴影部分面积：整体减空白求面积：割补法求面积 7、圆的相关概念 与圆相关的概念及计算
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