函数一词相信初高中生都不陌生，但这个词是泊来品，中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，最早出现是我国清代数学家李善兰翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。“函”，在中国古代与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。“函”又有信函之意，是一种对应关系，“数”指数字，故而从字面可以知道“函数”就是一种数与数之间的一种对应关系！ 现在中学课本上对函数的定义是：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A）。那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。这是以集合论为基础建立的定义，也是目前为人广为接受的概念。那么，你知道函数这一次从出现到现在经历了怎么样的变化吗？你知道历史上数学家都是怎么来描述函数的吗？下面我们就来看一下数学家们眼中的函数。 约翰·伯努利（1718）：一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式组成的量。 Johann Bernoulli, 1667-1748 欧拉（1748）：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。 Leonhard Euler, 1707 - 1783 欧拉（1755）：如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。 Leonhard Euler, 1707 - 1783 孔多塞：设有若干量x，y，z，…，F，对于x，y，z，…的每一个确定的值，F 有一个或多个确定的值与之对应，则称F为x，y，z，…的一个函数。 A. N. C. Condorcet, 1743-1794 拉克洛瓦（S. F. Lacroix, 1765-1843）（1797）：任何一个量，如果它的值依赖于一个或多个其他的量，那么它就称为这些量的函数，不管我们知不知道这种依赖关系是通过什么运算实现的。 拉格朗日（ 1797）：所谓一个或几个量的函数，是指任意一个用于运算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中，表达式中可以有（也可以没有）其它一些具有给定的不变值的量，而函数的量可以取所有可能的值。 J. L. Lagrange, 1736-1813 傅立叶（ 1822）：函数f ( x)代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标 x 的值，有同样多个纵坐标 f ( x) 的值。所有的值要么为正数，要么为负数，要么是零。无需假设这些纵坐标满足同一个法则；它们可以任何方式接续，每一个都好像是单个的量。 J. Fourier, 1768 - 1830 柯西《分析教程》 （1821）：当变量之间这样联系起来，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想像这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就被称为自变量；而用自变量表示的其它量就叫做该变量的函数。 A. L. Cauchy, 1789 - 1857 罗巴切夫斯基（1834）： x 的函数是这样的一个数，它对于每个 x 都有确定的值，并且随着 x 的变化而逐渐变化，函数值或者由解析式给出，或者由一个条件给出，这个条件提供了一种检验所有的数并选择其中之一的方法，或者虽然依赖关系存在但可以是未知的。 Lobachevsky, 1792-1856 狄里克雷（1837）:设a、b是两个确定的值，x 是可取a、b之间一切值的变量。如果对于每一个 x，有惟一有限的 y 值与它对应，使得当 x 从 a 到 b 连续变化时，也逐渐变化，那么 y 就称为该区间上 x 的一个连续函数。在整个区间上，y 无需按照同一种规律依赖于 x，也无需单单考虑能用数学运算来表示的关系。 L. Dirichlet,1805 - 1859 斯托克斯（1847）:函数是这样一个量，它的值以任意方式依赖于构成它的一个或几个变量的值。因此，函数不必通过任何代数符号的组合来表达，甚至在变量的很近的界限之间也是如此。 G. G. Stokes, 1819-1903 黎曼（1851）：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值。若对它的每一个值，都有不定量 w 的惟一的值与之相对应，则称 w 为 z 的函数。 B. Riemann, 1826-1866 布尔 (1854)：任何包含符号 x 的代数式称为 x 的函数，并用一般的简记符号f ( x)来 表示。 G. Boole, 1815-1864 汉克尔（1870）： x 的一个函数被称为f(x)，如果对于某区间内 x 的每一个值， f(x) 都有的惟一确定的值与之相关联。此外， f(x)是通过量的解析运算还是通过别的方式确定，根本无关紧要。 f(x) 的值只须处处惟一确定。 H. Hankel, 1839-1873 戴德金 (1887)：函数就是系统S的一个映射，对于S中每一个确定的元素s，按照法则，都有一个确定的对象与之相关联，这个对象称为s的象，以φ(s)将表示；也可以说，φ(s)是由s通过映射产生的，即s通过映射变换成φ(s)。 R. Dedekind, 1831-1916 坦纳里(1904）：考虑不同数的集合(X)，将这些数看成是x的取值，于是x就是一个变量。假设x的每一个值，即集合(X)的每一个元素，对应于一个数，这个数可以看成是字母y的取值；我们说y是由该集合(X)所确定的x的函数：如果定义了对应关系，就定义了该集合上的一个函数。y所取的不同值的集合(Y)是由同一个对应关系确定的：我们说b是(Y)的一个元素，即(X)的一个元素a与数b对应。(X)的每一个元素对应于(Y)的一个元素；反之亦然；但在前面的定义中，并没有排除(X)的几个不同元素对应于(Y)的同一个元素，换言之，(X)和Y)之间的对应不一定是完全的。 J.Tannery,1848 - 1910 维布伦：若在变量y 的集合与另一个变量 x的集合之间有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数。 O. Veblen, 1880 - 1960 皮亚诺（1911）：函数是这样一种关系 u，对于任意的x，y 和 z，如果第二个元素相同的两个序偶 y；x 和 z；x 满足这个关系，那么必有 y = x。 G. Peano, 1858-1932 豪斯道夫 （1914）：设 P 是序偶 p = (a, b)组成的一个集合，对于每一个 p∈P，称 b 为 a 的象，在特殊情况下，每个 a 只有惟一的象 b，则被此 a决定且与a相关的元 b称为a 的函数，记为 b=f(a) 。 F. Hausdorff, 1868-1942 古尔萨（1923）：函数这个词的现代定义是柯西和黎曼给出的。如果 x 的一个值与 y 的一个值相对应，那么我们就说y是x的一个函数。我们用方程 y = f (x) 来表示。 E. Goursat, 1858 - 1936 布尔巴基学派《集合论》（ 1939 ）：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对每一个x∈E，都存在惟一的y∈F，它满足与x的给定关系。我们将联系每一个元素x∈E和元素y∈F的运算称为函数；y称为x处的函数值，函数是由给定的关系决定的。两个等价的函数关系确定了同一个函数。
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